[전자/소자/기본/반도체] Energy Band는 왜 생길까? 원자의 에너지 준위에서 고체까지

Energy Band는 왜 생길까? 원자의 에너지 준위에서 고체까지

하나의 고립된 원자에서 전자는 아무 에너지나 가질 수 없습니다. 정해진 Orbital과 Discrete Energy Level만 허용됩니다. 그런데 수많은 원자가 모여 고체가 되면 이 선들이 매우 촘촘한 Energy Band로 바뀝니다.

Energy Band는 사람이 편의를 위해 그린 선이 아니라, 원자 사이의 상호작용과 Quantum Mechanics가 만든 고체의 허용 에너지 영역입니다.

핵심부터 말하면

원자들이 서로 가까워지면 Electron Wave Function이 겹치고 각 원자가 독립적으로 갖던 에너지 준위가 영향을 주고받습니다. Pauli Exclusion Principle 때문에 모든 전자가 완전히 같은 Quantum State를 차지할 수 없으므로 하나의 원자 준위가 수많은 서로 다른 준위로 갈라집니다.

고체에는 원자가 엄청나게 많아 분리된 준위 간격이 매우 작아집니다. 거시적으로 보면 연속처럼 보이는 허용 에너지 영역, 즉 Energy Band가 됩니다.

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고립된 원자는 왜 discrete level을 가질까

원자 안의 전자는 원자핵의 Coulomb Potential에 묶인 Quantum State입니다. 파동함수가 만족해야 하는 경계조건 때문에 가능한 에너지가 양자화되어 1s, 2s, 2p 같은 Orbital로 나타납니다.

이때 같은 종류의 원자들이 서로 충분히 멀리 떨어져 있다면 각 원자의 대응 Orbital은 거의 같은 에너지를 가집니다. 원자 수가 늘어도 서로 상호작용하지 않는다면 같은 준위가 반복될 뿐입니다.

원자가 가까워지면 왜 준위가 갈라질까

두 원자가 가까워지면 전자 파동함수가 겹치고, 전자는 두 원자핵과 주변 전자의 영향을 함께 받습니다. 가장 단순한 분자에서는 원자 Orbital이 결합해 낮은 에너지의 Bonding State와 높은 에너지의 Antibonding State로 갈라집니다.

원자가 N개라면 하나의 원자 준위는 대략 N개의 매우 가까운 고체 상태로 분리될 수 있습니다. Pauli Exclusion Principle 때문에 각 전자는 서로 구별되는 Quantum State를 채워야 합니다.

N이 거시적인 수가 되면 준위 간격은 매우 작아지고, 측정에서는 연속적인 띠처럼 보입니다.

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Crystal의 주기성은 Band를 어떻게 만들까

결정에서는 원자가 규칙적으로 반복되므로 전자는 주기적인 Potential을 경험합니다. 이 환경의 전자 상태는 Crystal Momentum을 나타내는 Wave Vector k와 Energy E의 관계인 Band Structure로 표현할 수 있습니다.

허용된 상태는 E(k) 곡선을 이루고, 특정 에너지 범위에는 해가 존재하지 않을 수 있습니다. 허용 상태가 없는 범위가 Bandgap입니다.

결정 속 전자는 원자 사이를 이동할 수 있지만 완전히 자유로운 입자는 아닙니다. 격자의 주기성과 Orbital의 대칭성이 허용되는 Energy와 속도, Effective Mass를 결정합니다.

Valence Band와 Conduction Band는 무엇일까

절대온도 0 K를 기준으로 전자가 채운 가장 높은 Band를 Valence Band라고 부릅니다. 그 위의 비어 있거나 일부 채워질 수 있는 Band가 Conduction Band입니다.

반도체에서 Valence Band의 전자가 Bandgap 이상의 에너지를 얻어 Conduction Band로 올라가면 자유전자와 정공 한 쌍이 만들어집니다. 전자는 Conduction Band에서, 정공은 Valence Band에서 전류에 기여할 수 있습니다.

Band의 이름보다 중요한 것은 Fermi Level 부근에 이동 가능한 빈 상태와 채워진 상태가 함께 있는가입니다.

 

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Metal, Semiconductor, Insulator는 어떻게 갈릴까

Energy Band의 채움과 Bandgap 구조에 따라 전기적 성질이 달라집니다.

• Metal: Fermi Level 부근에 부분적으로 채워진 Band 또는 겹치는 Band가 있어 전자가 쉽게 상태를 바꿈
• Semiconductor: 채워진 Valence Band와 비어 있는 Conduction Band 사이에 비교적 작은 Bandgap이 있음
• Insulator: 기본 구조는 비슷하지만 Bandgap이 커서 일반 조건에서 Carrier 생성이 어려움

Bandgap 크기만으로 모든 전도 특성이 결정되는 것은 아닙니다. 결함, 도핑, 온도, 상태 밀도와 Carrier Mobility도 실제 Conductivity에 영향을 줍니다.

Band는 고정된 단순 선이 아니다

Energy Band는 재료의 원자 종류, 결합, 격자 구조와 결정 방향에 따라 달라집니다. 같은 원소라도 Crystal Phase가 달라지면 Band Structure와 Bandgap이 달라질 수 있습니다.

또한 Strain, Quantum Confinement, Alloy 조성, 온도와 강한 전기장은 Band Edge와 곡률을 바꿀 수 있습니다. 그래서 Band Diagram은 고체의 전자 구조를 압축한 지도이지 모든 미세 정보를 담은 단순 계단 그림은 아닙니다.

정리하면

고립된 원자는 양자화된 discrete energy level을 가집니다. 원자들이 가까워져 파동함수가 겹치면 준위가 갈라지고, Pauli Exclusion Principle에 따라 수많은 서로 다른 상태가 형성됩니다.

거대한 수의 원자가 규칙적인 결정을 만들면 이 상태들이 촘촘한 Energy Band가 되고, 그 사이에는 허용 상태가 없는 Bandgap이 생길 수 있습니다. 반도체의 전류, 유효질량과 광학 특성은 이 Band Structure에서 출발합니다.

참고 자료

• Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics
• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics
• Ben G. Streetman, Sanjay Banerjee, Solid State Electronic Devices