[전자/소자/기본/반도체] 도핑 농도가 올라가면 Fermi Level은 어떻게 움직일까?

Donor를 넣으면 n형, Acceptor를 넣으면 p형 반도체가 된다고 배웁니다. 여기서 도핑 농도를 더 높이면 단순히 Carrier 수만 증가하는 것이 아니라 Fermi Level의 위치도 Energy Band 쪽으로 이동합니다.

Fermi Level은 Carrier가 에너지 상태를 채우려는 경향을 나타내므로, 전자나 정공 농도의 변화를 Band Diagram에 압축해서 보여 주는 지표입니다.

핵심부터 말하면

• Donor 농도 증가: 전자 농도 증가 → EF가 EC 쪽으로 이동
• Acceptor 농도 증가: 정공 농도 증가 → EF가 EV 쪽으로 이동

비축퇴 반도체에서는 Carrier 농도가 지수함수로 EF와 연결됩니다. 따라서 도핑 농도가 여러 배 증가해도 EF의 이동은 로그 관계를 가집니다.

매우 높은 도핑에서는 EF가 Band 내부로 들어가는 Degenerate Semiconductor가 될 수 있으며, 이때 단순한 Boltzmann 근사는 더 이상 정확하지 않습니다.

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n형 도핑에서는 왜 EF가 위로 움직일까

Donor는 비교적 작은 에너지로 Conduction Band에 전자를 제공합니다. Donor 농도 ND가 증가하면 열평형 전자 농도 n도 증가합니다.

비축퇴 조건에서 다음 관계를 사용할 수 있습니다.

n ≈ NC × exp[-(EC - EF)/(kT)]

n을 크게 만들려면 EC - EF가 작아져야 합니다. 즉, EF가 Conduction Band Edge EC에 가까워집니다.

완전 이온화되고 ND가 Acceptor보다 충분히 큰 단순한 n형 반도체에서는 n ≈ ND로 볼 수 있습니다. Intrinsic Level Ei를 기준으로 쓰면 다음과 같습니다.

EF - Ei ≈ kT × ln(ND/ni)

도핑 농도가 증가할수록 EF는 위로 이동하지만 로그 함수이므로 농도와 선형 비례하지는 않습니다.

p형 도핑에서는 왜 EF가 아래로 움직일까

Acceptor는 Valence Band의 전자를 받아 정공을 만듭니다. NA가 증가하면 정공 농도 p가 커집니다.

p ≈ NV × exp[-(EF - EV)/(kT)]

정공 농도가 커지려면 EF - EV가 작아져야 하므로 EF는 Valence Band Edge EV 쪽으로 내려갑니다. 단순한 완전 이온화 조건에서는 다음처럼 표현할 수 있습니다.

Ei - EF ≈ kT × ln(NA/ni)

n형과 p형 식은 서로 대칭적으로 보이지만 NC와 NV, Dopant Ionization Energy와 Band Structure가 달라 실제 위치는 완전히 대칭일 필요가 없습니다.

 

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EF가 Band에 가까워진다는 것은 무엇을 뜻할까

EF가 EC에 가까워지면 Conduction Band 상태의 점유확률이 높아져 전자가 많아집니다. EF가 EV에 가까워지면 Valence Band의 빈 상태, 즉 정공이 많아집니다.

Fermi Level이 Carrier를 직접 끌어당기는 것은 아닙니다. 도핑이 전하 중성 조건과 가능한 전자 수를 바꾸고, 그 결과 열평형의 Chemical Potential인 EF가 새로운 위치에 정해지는 것입니다.

또한 n형 반도체가 전체적으로 음전하를 띠거나 p형이 양전하를 띠는 것은 아닙니다. 자유 Carrier와 고정된 Ionized Dopant가 서로 보상해 Bulk는 대체로 중성을 유지합니다.

도핑이 매우 높아지면 어떻게 될까

EF가 EC 또는 EV에 매우 가까워지면 Boltzmann Distribution 대신 정확한 Fermi-Dirac 통계를 사용해야 합니다. EF가 Band 내부에 위치하는 상태를 Degenerate Semiconductor(축퇴 반도체) 라고 합니다.

고농도 도핑에서는 다음 효과도 중요해질 수 있습니다.

• 불완전 이온화 가정의 변화
• Bandgap Narrowing
• Ionized Impurity Scattering 증가
• Dopant 간 상호작용과 활성화 한계

따라서 단순한 로그 식을 무한히 높은 농도까지 적용할 수 없습니다.

균일한 반도체와 PN 접합을 구분해야 한다

균일하게 도핑된 고립 반도체를 비교할 때는 Band Edge를 기준으로 EF 위치가 달라진다고 그립니다. 하지만 p형과 n형을 접합해 열평형이 되면 하나의 Fermi Level이 접합 전체에서 평평해야 합니다.

이때 서로 다른 도핑 정보를 표현하기 위해 EC와 EV가 공간에 따라 휘어집니다. 즉, PN Junction에서는 EF가 꺾이는 것이 아니라 Band Bending과 Built-in Potential이 생깁니다.

 

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온도도 함께 봐야 한다

식에는 kT와 ni가 들어갑니다. 특히 ni는 온도에 매우 민감하므로 같은 도핑 농도라도 EF의 상대 위치는 온도에 따라 변합니다.

높은 온도에서 Intrinsic Carrier가 많아지면 EF는 Intrinsic Level 쪽으로 이동하는 경향이 있습니다. 낮은 온도에서는 Dopant Freeze-out으로 완전 이온화 가정이 깨질 수 있습니다.

정리하면

Donor 농도가 증가하면 전자 농도가 커져 Fermi Level은 Conduction Band 쪽으로 이동합니다. Acceptor 농도가 증가하면 정공 농도가 커져 Valence Band 쪽으로 이동합니다.

비축퇴 영역에서는 이동량이 도핑 농도의 로그와 관계되지만, 고농도에서는 Fermi-Dirac 통계와 Bandgap Narrowing 등을 고려해야 합니다. PN 접합의 열평형에서는 EF가 평평하고, 도핑 차이는 Band Bending으로 나타난다는 점도 중요합니다.

참고 자료

• Donald A. Neamen, Semiconductor Physics and Devices
• Robert F. Pierret, Semiconductor Device Fundamentals
• S. M. Sze, Kwok K. Ng, Physics of Semiconductor Devices