[전자/소자/기본/반도체] Carrier Mobility는 온도가 올라가면 왜 감소할까?

반도체의 온도가 올라가면 전자와 정공의 열운동은 활발해집니다. 그렇다면 Carrier가 더 빨리 움직여 Mobility도 커질 것 같지만, 일반적인 Silicon의 실온 부근에서는 반대로 Mobility가 감소합니다.

그 이유는 Carrier의 열에너지가 증가하는 효과보다 격자 진동에 의한 산란이 강해지는 효과가 더 크게 작용하기 때문입니다.

핵심부터 말하면

Mobility는 전기장에 의해 만들어지는 평균 Drift Velocity의 크기를 나타냅니다.

μ = vd / E

온도가 올라가면 Silicon 원자의 Lattice Vibration이 커지고 Phonon 수가 증가합니다. Carrier는 더 자주 방향을 잃어 전기장 방향으로 속도를 축적하기 어려워집니다. 따라서 평균 산란 시간 τ가 짧아지고 Mobility가 감소합니다.

μ ≈ q × τ / m*

하지만 낮은 온도와 높은 도핑에서는 Ionized Impurity Scattering이 지배할 수 있어 온도 의존성이 반대로 나타나는 구간도 있습니다.

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온도가 올라가면 결정 안에서 무엇이 바뀔까

완벽히 정지한 격자를 상상하면 Carrier는 주기적인 Crystal Potential 속에서 Bloch State로 움직입니다. 실제 원자는 절대온도 0 K가 아니면 평형 위치 주변에서 진동합니다.

이 격자 진동을 양자화한 것이 Phonon입니다. 온도가 높아지면 Carrier가 흡수하거나 방출할 수 있는 Phonon이 많아지고, 운동량과 에너지를 바꾸는 산란 사건이 증가합니다.

Carrier의 순간적인 열운동 속도와 전기장에 의한 Drift Velocity는 다릅니다. 무작위 열운동이 빨라져도 충돌이 잦아지면 한 방향의 평균 Drift는 오히려 작아질 수 있습니다.

 

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Phonon Scattering은 Mobility를 어떻게 낮출까

전기장은 Carrier를 한 방향으로 가속하지만 산란이 발생하면 운동량 방향이 다시 무작위화됩니다. 산란 사이 시간이 길수록 Carrier는 더 큰 Drift Velocity를 얻을 수 있습니다.

온도 상승으로 Phonon Scattering Rate가 증가하면 τ가 감소하고 Mobility도 낮아집니다. 단순한 경험식에서는 Phonon-limited Mobility를 다음처럼 표현합니다.

μph ∝ T^(-m)

지수 m은 재료, 온도 범위와 산란 모드에 따라 달라지므로 하나의 고정값으로 모든 상황을 설명할 수 없습니다. 중요한 점은 일반적인 고온 영역에서 T가 증가할수록 μph가 감소한다는 방향성입니다.

Ionized Impurity Scattering은 왜 반대 경향을 보일까

도핑된 반도체에는 전하를 띤 Donor Ion과 Acceptor Ion이 존재합니다. 이들의 Coulomb Field가 Carrier의 경로를 휘게 만드는 현상이 Ionized Impurity Scattering입니다.

낮은 온도에서는 Carrier가 상대적으로 느려 이 전기장의 영향을 오래 받기 때문에 크게 편향될 수 있습니다. 온도가 올라가 Carrier의 평균 에너지가 증가하면 하나의 이온 주변을 더 빨리 지나가므로 산란 효과가 줄어드는 경향이 있습니다.

단순 모델에서 Impurity-limited Mobility는 온도와 함께 증가할 수 있습니다. 또한 도핑 농도가 높을수록 산란 중심이 많아져 Mobility가 낮아집니다.

 

두 산란은 어떻게 합쳐질까

여러 독립적인 산란 메커니즘이 있을 때 Mobility는 Matthiessen's Rule로 근사할 수 있습니다.

1/μtotal ≈ 1/μph + 1/μimp + 1/μother

가장 낮은 Mobility를 만드는 강한 산란 메커니즘이 전체를 지배합니다.

• 저온·고도핑 영역: Impurity Scattering이 중요할 수 있음
• 온도가 올라간 영역: Phonon Scattering의 영향 증가
• MOS Channel: Surface Roughness와 Interface Charge도 추가

그래서 Mobility는 넓은 온도 범위에서 단조롭게 움직이지 않고, 특정 온도에서 최대가 된 뒤 감소하는 형태를 보일 수도 있습니다.

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Mobility가 감소하면 전류도 항상 감소할까

MOSFET의 낮은 전계 모델에서는 Drain Current가 Mobility에 비례하므로 온도 상승은 On Current를 낮추는 방향으로 작용합니다. 그러나 실제 MOSFET에서는 Threshold Voltage도 온도에 따라 변하므로 최종 전류는 두 효과가 함께 결정합니다.

반도체의 Conductivity는 다음 관계로 표현됩니다.

σ = q × (nμn + pμp)

온도가 오르면 Mobility는 감소할 수 있지만 Intrinsic Carrier Concentration은 크게 증가할 수 있습니다. 따라서 모든 반도체의 저항이 온도 상승과 함께 반드시 증가한다고 단정할 수 없습니다. 도핑 수준과 온도 범위를 함께 봐야 합니다.

정리하면

온도가 올라가면 원자 격자의 진동과 Phonon 수가 증가해 Carrier가 더 자주 산란합니다. 산란 사이 평균 시간 τ가 짧아지므로 일반적인 실온 부근에서 Carrier Mobility는 감소합니다.

반면 Ionized Impurity Scattering은 온도 상승과 함께 약해질 수 있습니다. 실제 Mobility는 Phonon, 불순물, Interface와 결함 산란의 경쟁으로 결정되며, 소자 전류는 Mobility뿐 아니라 Carrier 농도와 Threshold Voltage 변화까지 함께 고려해야 합니다.

참고 자료

• Mark Lundstrom, Fundamentals of Carrier Transport
• Donald A. Neamen, Semiconductor Physics and Devices
• S. M. Sze, Kwok K. Ng, Physics of Semiconductor Devices