[전자/소자/기본/반도체] Fermi Level은 도대체 무엇을 의미할까?

Energy Band Diagram을 보면 EC, EV와 함께 항상 EF가 등장합니다. 그런데 Fermi Level을 단순히 “전자가 있는 에너지”라고 이해하면 Bandgap 안에 EF가 그려지는 순간부터 혼란이 생깁니다. Bandgap에는 허용된 전자 상태가 없기 때문입니다.

Fermi Level은 특정 전자 한 개의 실제 에너지라기보다 전자들이 에너지 상태를 얼마나 채우려 하는지를 나타내는 기준 에너지입니다.

핵심부터 말하면

열평형에서 Fermi Level EF는 전자의 Chemical Potential입니다. 어떤 에너지 상태가 전자로 채워질 확률은 Fermi-Dirac Distribution으로 결정됩니다.

f(E) = 1 / {1 + exp[(E - EF)/(kT)]}

E = EF인 허용 상태가 있다면 점유확률은 1/2입니다. EF보다 충분히 낮은 상태는 채워질 가능성이 크고, 충분히 높은 상태는 비어 있을 가능성이 큽니다.

중요한 점은 그 에너지에 실제 허용 상태가 있어야 전자가 존재할 수 있다는 것입니다. EF가 Bandgap 안에 있어도 모순이 아닙니다.

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Fermi Level은 물 높이와 같을까

입문 설명에서는 EF를 전자의 수위를 나타내는 선에 비유합니다. EF가 Conduction Band에 가까우면 전자 상태가 더 많이 채워지고, Valence Band에 가까우면 정공이 많아진다는 직관을 주기 때문입니다.

하지만 물은 높이 아래를 연속적으로 채우는 반면 전자는 허용된 Quantum State만 차지할 수 있습니다. 또한 유한한 온도에서는 EF 아래 상태도 일부 비고 EF 위 상태도 일부 채워집니다. 따라서 수위 비유는 점유 경향을 설명할 때만 유효합니다.

 

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EF가 Carrier 농도를 어떻게 정할까

비축퇴 반도체에서 전자와 정공 농도는 다음처럼 근사할 수 있습니다.

n ≈ NC × exp[-(EC - EF)/(kT)]

p ≈ NV × exp[-(EF - EV)/(kT)]

EF가 EC에 가까워지면 Conduction Band의 전자 농도 n이 지수적으로 증가합니다. EF가 EV에 가까워지면 Valence Band의 빈 상태, 즉 정공 농도 p가 증가합니다.

그래서 n형 도핑은 EF를 EC 쪽으로, p형 도핑은 EF를 EV 쪽으로 이동시킵니다. EF의 작은 이동도 Carrier 농도에는 큰 변화를 줄 수 있습니다.

Bandgap 안에 EF가 있어도 되는 이유

EF는 점유확률 식의 기준 에너지이지 반드시 전자가 앉아 있는 State가 아닙니다. Semiconductor의 Bandgap에는 상태 밀도 DOS가 0이므로 EF가 그 안에 있어도 그 에너지에 전자가 존재한다는 뜻이 아닙니다.

실온의 Intrinsic Semiconductor에서 EF는 대체로 Bandgap 중앙 근처에 있습니다. 정확한 위치는 전도대와 가전자대의 Effective Density of States가 다르면 중앙에서 약간 벗어날 수 있습니다.

Metal에서는 허용 상태가 EF 부근까지 이어지므로 EF 주변에 전자가 실제로 존재합니다. 절대온도 0 K의 Metal에서 EF는 채워진 상태와 빈 상태를 나누는 경계로 이해할 수 있지만, 이 표현을 모든 온도의 Semiconductor에 그대로 적용하면 부족합니다.

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열평형에서는 왜 Fermi Level이 평평할까

하나의 연결된 소자가 열평형에 있을 때 EF가 위치마다 다르면 전자가 더 높은 Chemical Potential에서 낮은 곳으로 이동하려는 구동력이 생깁니다. 이동이 끝나 평형이 되면 EF는 공간적으로 일정해집니다.

PN 접합에서는 p형과 n형의 Band Edge가 휘어도 평형 Fermi Level은 하나의 수평선입니다. Built-in Electric Field와 Diffusion이 균형을 이룬 결과입니다.

따라서 Band Diagram을 읽을 때 EF가 평평한지, 기울어졌는지를 보는 것은 평형 여부와 전압 상태를 판단하는 중요한 단서입니다.

전류가 흐를 때는 어떻게 표현할까

외부 전압이 인가되거나 빛으로 Carrier가 생성되면 시스템은 열평형에서 벗어납니다. 이때 전자와 정공을 하나의 EF로 동시에 설명하기 어려워져 Electron Quasi-Fermi Level과 Hole Quasi-Fermi Level을 따로 사용합니다.

두 Quasi-Fermi Level의 분리는 LED, Solar Cell, Diode와 MOSFET의 비평형 Carrier 분포를 이해하는 데 중요합니다. 즉, 하나의 평평한 EF는 열평형에서 가장 명확한 개념입니다.

Fermi Level과 전압은 같은 것일까

둘은 밀접하지만 같은 물리량은 아닙니다. 전압은 단위 전하당 전기적 Potential Energy를 나타내고, Fermi Level은 전자의 전기적·화학적 에너지를 포함한 Chemical Potential입니다.

회로와 소자 해석에서는 전기 퍼텐셜 변화가 Band Edge와 Fermi Level 또는 Quasi-Fermi Level의 상대 위치를 바꾸므로 서로 연결해 사용합니다.

정리하면

Fermi Level은 특정 전자 하나의 궤도 에너지가 아니라 전자가 에너지 상태를 채우려는 경향을 나타내는 Chemical Potential입니다. E = EF에서의 점유확률은 1/2이지만, 실제 전자 존재 여부는 그 에너지에 허용 상태가 있는지까지 봐야 합니다.

EF가 EC와 EV 중 어디에 가까운지를 보면 전자와 정공 농도를 직관적으로 판단할 수 있습니다. 또한 평형에서는 EF가 공간적으로 일정하고, 비평형에서는 전자와 정공의 Quasi-Fermi Level로 나뉠 수 있습니다.

참고 자료

• Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics
• Donald A. Neamen, Semiconductor Physics and Devices
• Robert F. Pierret, *Semiconductor Device Fundamentals