[전자/전기/반도체]Vth를 추출하는 기준 수식들은 무엇인가: 왜 방법마다 값이 조금씩 다를까

안녕하세요.
“기억하고자 하는 모든 것”을 담아내는 리멤버미입니다.

 

반도체 소자 이야기를 하다 보면 문턱전압(Vth)은 자주 등장하지만, 막상 측정이나 모델링 단계로 들어가면 곧바로 이런 질문이 생깁니다.

“그래서 Vth는 정확히 어디서 읽는 값인가?”
“왜 논문마다, 장비마다, 추출식마다 Vth 값이 조금씩 다르게 나오지?”

이 질문에 대한 가장 중요한 답은 의외로 단순합니다.
Vth는 하나의 그래프 위에서 눈으로 딱 찍히는 점이 아니라, ‘어떤 기준으로 문턱을 정의할 것인가’에 따라 추출되는 값이라는 점입니다. MOSFET의 약반전(weak inversion)에서 강반전(strong inversion)으로 넘어가는 전이는 매우 완만해서, ID−VGI_D-V_GID​−VG​ 곡선 위에 “여기가 진짜 문턱”이라고 자연스럽게 표시되는 한 점이 존재하지 않습니다. 그래서 여러 추출 방법이 생겨났습니다.

2026.04.09 - [기억하고 싶은 지식/반도체] - [전자/반도체]문턱전압(Vth)이란 무엇인가: 트랜지스터가 켜지는 진짜 기준

[전자/반도체]문턱전압(Vth)이란 무엇인가: 트랜지스터가 켜지는 진짜 기준

 

먼저, 왜 추출식이 여러 개나 있을까

고전적인 bulk MOSFET 설명에서는 문턱전압을 보통 표면전위(surface potential) 기준으로 설명합니다. UFSC 논문은 고전적 정의를 “게이트 전압이 표면전위 조건 φs = 2φF + V 를 만족하는 지점”으로 설명합니다. 하지만 실제 측정에서는 이런 내부 물리량을 직접 재기 어렵기 때문에, 보통은 전류 특성 Id–Vg ​ 에서 Vth를 간접적으로 추출합니다.

같은 논문은 더 물리적인 current-based 정의도 소개합니다. 핵심은 문턱 근처에서 드레인 전류의 drift 성분과 diffusion 성분이 같아지는 지점을 Vth로 보는 것입니다. 이 기준을 쓰면 문턱에서의 반전 전하 밀도가

 

가 된다고 설명합니다. 여기서 nnn은 slope factor, C′ox 는 단위면적당 산화막 커패시턴스, φt 는 thermal voltage입니다. 즉, Vth는 단순한 “켜짐/꺼짐 경계”라기보다 전류 지배 메커니즘이 바뀌기 시작하는 전이점에 가깝습니다.

이제부터는 실무에서 많이 쓰는 추출 기준식을 하나씩 보겠습니다.

 

1. Constant Current Method: 가장 단순하고 가장 널리 쓰이는 방법

가장 직관적인 방법은 특정 드레인 전류를 기준으로 그때의 게이트 전압을 Vth로 정의하는 것입니다.

Vth = Vg at Id = Icrit

즉, Id가 어떤 기준 전류 Icrit에 도달했을 때의 Vg를 읽는 방식입니다. 대표적인 기준으로는 다음과 같은 형태가 자주 쓰입니다.

Icrit = 10⁻⁷ × (Wm/Lm) A

여기서 Wm, Lm은 마스크 채널 폭과 길이입니다.

또 current-based 정의에 맞춘 물리적 버전의 constant-current 방법도 있습니다. 포화 영역의 long-channel MOSFET을 diode connection으로 두고

Id = 3Is

가 되도록 바이어스하면, Vs = 0일 때

Vg = Vth

가 된다고 설명합니다.

왜 이 방법을 쓰나

이 방법의 장점은 아주 분명합니다.
간단하고 자동화하기 쉽고, 장비에서 바로 구현하기 편합니다. 그래서 산업 현장에서 여전히 많이 사용됩니다.

하지만 약점도 분명합니다.
기준 전류 Icrit가 어느 정도 임의적이고, 포화 영역에서 재면 short-channel effect나 DIBL 영향이 섞일 수 있습니다. 즉, 측정은 쉽지만 “물리적으로 가장 본질적인 Vth”라고 보기는 어렵습니다.

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2. Linear Extrapolation Method: 교과서에서 가장 설명하기 쉬운 방법

이 방법은 아마 가장 많이 알려진 방식입니다. 선형 영역에서 Id–Vg 곡선의 최대 기울기 지점을 찾고, 그 지점에서 접선을 그어 Id = 0인 x축과 만나는 점을 구합니다. 선형 영역에서 이 x절편을 구한 뒤,

Vth = Vg,intercept − Vd/2

로 계산하는 방식을 설명합니다.

포화 영역에서는 같은 아이디어를 √Id,sat – Vg 특성에 적용합니다. 즉, 강반전 근사에서

Id,sat ∝ (Vg − Vth)²

이므로,

√Id,sat ∝ Vg − Vth

가 되어 직선 외삽으로 Vth를 구할 수 있습니다.

왜 이 방법을 쓰나

이 방법은 직관적입니다.
강반전 영역에서는 전류가 Vg − Vth 또는 (Vg − Vth)² 형태로 움직인다는 고전적 MOSFET 모델과 잘 연결되기 때문입니다. 그래서 교육용, 설명용, 기본 비교용으로 매우 좋습니다.

하지만 약점도 있습니다.
최대 기울기점과 외삽 직선은 이동도 저하(mobility degradation), 직렬저항(series resistance), 노이즈에 영향을 받기 쉽습니다. 다시 말해, 보기엔 깔끔하지만 실제 소자가 이상적인 square-law에서 벗어나면 추출값이 흔들릴 수 있습니다.

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3. gm/Id Method: 약반전과 강반전의 연결을 더 잘 반영하는 방법

이 방법은 gm/Id 기반 추출법입니다. 먼저 정의는 다음과 같습니다.

gm/Id = (1/Id)·(dId/dVg)

그리고 선형 영역에서 특정 근사를 쓰면, 문턱 조건에서 gm/Id가 최대값의 절반 수준이 된다고 설명합니다. 즉, n의 변화가 작다고 보면

gm/Id ≈ (1/2)·(gm/Id)max

이 되는 게이트 전압을 Vth로 볼 수 있습니다. 조금 더 정확히는 Vds = φt/2 조건에서는

gm/Id = 0.531·(gm/Id)max

일 때의 게이트 전압을 Vth로 둘 수 있다고 설명합니다.

왜 이 방법을 쓰나

이 방법의 장점은 약반전에서 강반전으로 넘어가는 물리적 전이를 더 직접 반영한다는 점입니다. Constant-current처럼 임의의 전류를 찍는 방식보다, 전류의 변화율까지 함께 보기 때문에 threshold의 의미를 더 잘 담을 수 있습니다.

또한 derivative 기반이긴 하지만, 단순히 gm 자체만 보는 것보다 정규화된 형태이기 때문에 소자의 동작 영역을 보는 데 유용합니다.

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4. gch/Id Method: 더 “깨끗한” threshold를 보고 싶을 때

gm/Id 방법의 단점 중 하나는 slope factor n이 게이트 전압에 따라 달라질 수 있다는 점입니다. 이 영향을 줄이기 위해 제안된 것이 gch/Id 방법입니다.

정의는 다음과 같습니다.

gch/Id = −(1/Id)·(dId/dVs)

그리고 Vds ≪ φt인 선형 영역에서는 threshold 근처에서

gch/Id = (1/2)·(gch/Id)max

가 되는 점을 Vth로 둡니다.

왜 이 방법을 쓰나

이 방법의 핵심 목적은 gate bias에 따른 slope factor 변화의 영향을 줄이는 것입니다. 이 방식은 CLM, DIBL, velocity saturation 같은 2차 효과의 영향을 더 적게 받도록 설계된 방법으로 설명되곤 합니다. 즉, 조금 더 “물리적인 threshold”에 가까운 값을 얻고 싶을 때 유리합니다.

실무적으로는 모든 사람이 가장 먼저 쓰는 방법은 아니지만, 정밀 특성 추출이나 모델 파라미터 추출에서는 꽤 의미 있는 접근입니다.

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5. Second Derivative Method: 전이점 자체를 수학적으로 잡는 방법

또 다른 계열은 미분 기반 방법입니다. 대표적으로 second derivative method는

Vth = Vg at max(d²Id/dVg²)

로 둘 수 있습니다. 즉, Id–Vg 곡선의 굽음이 가장 크게 바뀌는 지점을 threshold로 보는 방식입니다. 이것은 dgm/dVg = d²Id/dVg²의 최대점으로도 설명할 수 있습니다.

왜 이 방법을 쓰나

이 방법은 threshold를 곡선의 전이점(turning point) 으로 해석한다는 점에서 꽤 매력적입니다. 강반전 쪽만 외삽하는 linear extrapolation보다 전이 그 자체를 겨냥한다는 장점이 있습니다.

하지만 단점도 아주 분명합니다.
노이즈에 매우 민감합니다. 1차 미분도 노이즈를 키우는데, 2차 미분은 그보다 더 민감합니다. 그래서 데이터 smoothing 없이 쓰면 결과가 쉽게 흔들릴 수 있습니다.

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그래서 왜 방법마다 Vth가 다를까

이제 이유가 보입니다.

• Constant Current는 “어느 전류를 문턱 전류로 볼 것인가” 에 의존합니다.
• Linear Extrapolation은 강반전 근사와 외삽에 의존합니다.
• gm/Id, gch/Id는 weak-to-strong inversion 전이의 물리성을 더 반영합니다.
• Second Derivative는 곡률 변화가 최대인 지점을 threshold로 봅니다.

즉, 모두 같은 Vth를 찾는 것 같지만 사실은 같은 곡선을 서로 다른 철학으로 읽고 있는 것입니다. 그래서 동일 소자라도 측정 조건 Vds, 온도, 노이즈, channel length, series resistance에 따라 추출값이 달라질 수 있습니다.

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실무에서 어떻게 선택하면 좋을까

블로그 글답게 아주 현실적으로 정리하면 이렇습니다.

설명용, 교육용, 직관성이 중요하면
Linear Extrapolation이 가장 이해하기 쉽습니다.

장비 자동화, 공정 비교, 빠른 스크리닝이 중요하면
Constant Current가 여전히 강력합니다.

물리적 의미, 약반전-강반전 전이, 모델 파라미터 추출이 중요하면
gm/Id 또는 gch/Id 계열이 더 설득력 있습니다.

전이점을 수학적으로 예민하게 잡고 싶다면
Second Derivative류를 쓸 수 있지만, 노이즈 처리까지 반드시 같이 봐야 합니다.

결국 중요한 것은 “어떤 방법이 절대적으로 맞느냐”가 아니라,
내가 어떤 조건에서 어떤 정의의 Vth를 쓰고 있는지 명시하는 것입니다.
논문에서든, 실험 노트에서든, 모델 카드에서든 최소한 아래 네 가지는 같이 적는 편이 좋습니다.

• 측정 영역: linear / saturation
• Vds 값
• 추출 방법: CC / LE / gm/Id / derivative
• 기준식 또는 기준 전류 값

이걸 빼면 같은 Vth라는 말도 사실상 서로 다른 값을 가리킬 수 있습니다.

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정리하며

Vth는 “트랜지스터가 켜지는 전압”이라고 한 줄로 설명할 수는 있지만,
실제로 추출하려고 들어가면 이야기가 달라집니다.

문턱은 곡선 위에 딱 찍혀 있는 점이 아니라,
약반전에서 강반전으로 넘어가는 전이를 어떤 기준으로 읽을 것인가의 문제입니다. 그래서 constant current도 맞는 방법이고, linear extrapolation도 맞는 방법이고, gm/Id도 맞는 방법입니다. 단지 각각이 보고 있는 문턱의 의미가 조금씩 다를 뿐입니다.

개인적으로는 이 주제를 이해할 때
“Vth는 하나의 숫자라기보다, 정의와 측정 조건까지 포함한 파라미터”
라고 생각하면 가장 헷갈림이 적습니다.